Page 2 - 송도고등학교 수학일보 제5호

02 SONGDO HIGH SCHOOL

기하학의 헬렌 사이클로이드

사이클로이드는 미끄러지지 않고 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 만드는 곡선을 말한다. 평소 수학과 과학에 흥미가 있는 학생이라면, 사이클로
이드 곡선에 대해 들어본 적이 있을 것이다. 사이클로이드는 특이하고 신비한 수학적 원리를 가지고 있어 ‘기하학의 헬렌(트로이 전쟁의 원인이 된 미
모의 왕비)‘으로 부르기도 한다. 사이클로이드의 아름다움에 매료된 수학자들은 17세기 연구를 활발하게 진행했는데, 사이클로이드에 관한 연구는 무
엇이 있었을까?

사이클로이드 곡선 아래의 밑면적을 구하기 위한 연구는 갈릴레오로부터 시작된다. 갈릴레오는 사이클로이드라는 곡선에 큰 관심을 가지고 있었으
며, 사이클로이드라는 이름도 갈릴레오가 지어낸 것이다. 갈릴레오는 사이클로이드의 넓이를 구하기 위해, 원판을 통해 직접 사이클로이드를 그려 잘
라냈고, 잘라낸 부분의 무게가 자른 판의 무게의 3배라는 것을 알아내 사이클로이드 아래의 넓이를 추론해냈다.

사이클로이드 곡선 아래의 넓이는 다음과 같은 과정으로 증명 가능하다.
사이클로이드 곡선 아래의 넓이

= Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ

= +Ⅱ+Ⅲ

= +Ⅱ+Ⅲ

= +Ⅱ+Ⅲ 이다.

이때 영역 Ⅱ와 Ⅲ 각각의 넓이는 카발리에리의 원리를 통해 구해낼 수 있다. 카발리
에리의 원리는 ‘평행한 두 선분으로 막힌 두 영역에서 만약 임의의 평행선을 그어서 생

기는 양쪽의 선분의 길이가 같다면 두 영역의 넓이는 같다’는 법칙인데, 다음 그림에서
볼 때, 영역 Ⅱ와 Ⅲ의 각각의 넓이는 카발리에리의 원리에 따라 반원의 넓이와 같다는

것이다. 이를 통해 으로 사이
클로이드를 만든 원의 넓이의 3배라는 것을 알 수 있다.

사이클로이드 곡선 아래의 넓이를 수학적으로 증명해낸 사람은 로베르발! 그는 구분구적의 방법을 이용했다. 로베르발은 이 외에도 사이클로이드 위
의 점에서 접선을 그리는 방법과 사이클로이드를 통해 만든 회전체의 부피도 찾아냈다. 놀라운 점은 위의 사실들을 미적분 없이 알아냈다는 것이다.
네덜란드의 수학자인 호이겐스는, 진자시계를 만드는 것에 사이클로이드를 활용한다. 진자의 주기는 실의 길이에만 영향을 받는다. 알려져 있지만,
이는 진폭이 매우 작은 경우에만 성립한다. 이에 호이겐스는 진폭에 상관 받지 않는 시계를 만들고자 했다. 그는 실험을 통해 못을 박아 두 개의 꺾이는

점이 있는 진자시계를 만들어냈고 나중에는 못을 곡면판으로 대체하여 오차를 줄이고자 했다. 그리고 호이겐스는 시계추의 움직임이 사이클로이드와
비슷하다는 것을 깨닫게 된다. 사이클로이드 위에 있는 어떤 점에서 출발하더라도, 사이클로이드의 끝에 다다르는 시간은 같다. 이 때문에 사이클로이
드는 등시곡선으로 불리는데, 이와 같은 사이클로이드의 성질을 이용하면 진폭에 관계없이 주기가 일정한 시계를 만들 수 있다. 호이겐스는 연속된 두
사이클로이드 곡면판이 또 다른 사이클로이드를 만드는 것을 알아내고 시계 제작을 시도하지만, 아쉽게도 마찰로 인한 한계 때문에 발명에 실패한다.

이 외에도 사이클로이드와 관련된 일화는 다양하게 전해진다. 파스칼은 치통을 잊고자 8일
동안 사이클로이드를 연구하여 사이클로이드에 관한 수많은 기하학적 성질을 밝혀내기도 했

고, 베르누이가 뉴턴에게 사이클로이드에 관한 문제를 내자 다른 물리학자들이 푸는데 몇 달
이 걸린 문제를 뉴턴이 하루만에 풀어버렸다는 이야기도 전해진다. 또한 베르누이는 사이클
로이드가 최속강하곡선임을 밝혀낼 때, 빛의 굴절을 활용하여 증명해내기도 했다.

사이클로이드는 수학의 발전에 도화선 역할을 해냈다. 사이클로이드는 신비롭고 놀라운 기
하학적 성질들을 가지고 있었고, 이를 밝혀내려는 수학자들의 도전을 통해 미적분과 해석적
기하학으로 가는 길이 열리게 된다. 지금 우리가 누리고 있는 과학 기술은 사이클로이드 없이
▲ 위의 다섯 개의 색의 진자는 사이클로이드 위에서
움직이기에 같은 주기를 갖는다. 존재할 수 없었을 것이다.
(STEAM MAKERS 2학년 임형섭 기자)